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Contribution à une théorie des relations floues d'ordre N
Thèse
La notion de relation sert à modéliser des interactions entre les éléments de différents ensembles; ces liens pouvant revêtir diverses significations : lien de cause à effet, liens d'incidence ou d'influence, lien de concomitance, lien d'exclusion... L'objectif de cette thèse de Doctorat est de proposer une théorie cohérente des relations floues d'ordre n, valuées sur le segment [0,1], généralisant la théorie classique des relations. Le premier chapitre expose des résultats relatifs aux opérateurs triangulaires et aux complémentations involutives. Ces propriétés ainsi que les configurations de treillis mises en valeur sont utiles pour aborder les développements qui suivent; en effet, à chaque résultat énoncé dans ce travail correspond un résultat dual obtenu en échangeant le rôle des T-normes et des T-conormes et en renversant l'ordre. Le deuxième chapitre unifie les scalaires de [0,1], les sous-ensembles flous et les relations floues n-aires (n ? 2) sous le concept unique de relation floue d'ordre n, et définit les opérateurs de base sur de telles relations. En particulier, il introduit la multiplication de relations floues d'ordres quelconques, où la notion d'ancrage, qui formalise les domaines communs à deux relations, joue un rôle essentiel pour préciser les conditions de composition. Les cas particuliers pour lesquels la composition est associative et/ou interne sont largement détaillés. De nouvelles structures algébriques (préanneau, prémodule, préalgèbre, antémodule, antéalgèbre) sont établies pour caractériser le segment [0,1], ainsi que l'espace des relations floues. Le troisième chapitre classifie les relations floues d'ordre n en fonction de propriétés caractéristiques (transitivité, réfléxivité, symétrie) et des duales. La stabilité de ces propriétés est examinée pour les opérations d'union, de troncature, de multiplication interne, ainsi que pour les opérations duales; ce qui permet de faire apparaître diverses structures algébriques remarquables pour les ensembles de relations floues bénéficiant de l'une de ces propriétés. Le dernier chapitre introduit d'autres opérateurs portant sur les relations floues : le produit cartésien, le projecteur et leurs duaux, ainsi que l'extenseur cylindrique. Ceci autorise une réécriture généralisée du principe d'extension de Zadeh : une application fonctionnelle (resp. une loi interne) à un ou plusieurs arguments peut alors être étendue en une application fonctionnelle (resp. une loi interne) portant sur une ou plusieurs relations floues. Des conditions nécessaires et suffisantes sont aussi énoncées pour que l'associativité d'une loi interne soit conservée par extension. En outre, deux opérateurs de fermeture sont proposés, permettant de construire le meilleur encadrement possible de la relation floue de départ à partir de ses projections ou de ses coprojections. Le chapitre se termine par la construction de mesures généralisées de possibilité et de nécessité à partir de la multiplication par fusion de relations floues. Bien que ce travail ait été exclusivement mathématique, avec une approche essentiellement algébrique, la démarche adoptée et les résultats qui en découlent ouvrent la voie à de multiples applications, tout particulièrement dans la modélisation de problèmes et de systèmes multidimensionnels et complexes, c'est-à-dire dont les divers paramètres sont en fortes interactions (contrôle flou multivariable, neuro-mimétique floue, propagation de contraintes flexibles...).
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